Тоолох боломжийг олгодог гайхалтай томьёо байдаг олон өнцөгт талбайкоординатын сүлжээнд бараг алдаагүй. Энэ нь бүр томьёо ч биш, бодит зүйл юм теорем. Эхлээд харахад энэ нь төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Гэхдээ энэ нь хэд хэдэн ажлыг шийдвэрлэхэд хангалттай бөгөөд та энэ функц ямар гайхалтай болохыг ойлгох болно. Тиймээс цааш яв!

Шинэ тодорхойлолтоор эхэлцгээе:

Координатын стекийн зангилаа нь энэ торны босоо болон хэвтээ шугамын огтлолцол дээр байрлах аливаа цэг юм.

Зориулалт:

Эхний зурган дээр зангилаанууд огт тэмдэглэгдээгүй байна. Хоёр дахь нь 4 зангилаатай. Эцэст нь, гурав дахь зураг дээр бүх 16 зангилаа тэмдэглэгдсэн байна.

Энэ нь В5 асуудалтай ямар холбоотой вэ? Баримт нь ийм асуудалд олон өнцөгтийн оройнууд байдаг Үргэлжсүлжээний зангилаанууд дээр хэвтэж байна. Үүний үр дүнд дараахь теорем тэдэнд тохирно.

Теорем. Оройнууд нь энэ торны зангилаанууд дээр байрладаг координатын тор дээрх олон өнцөгтийг авч үзье. Дараа нь олон өнцөгтийн талбай нь:

Энд n нь өгөгдсөн олон өнцөгт доторх зангилааны тоо, k нь түүний хил дээр байрлах зангилааны тоо (хилийн зангилаа).

Жишээ болгон координатын тор дээрх энгийн гурвалжинг авч үзээд дотоод болон хилийн зангилааг тэмдэглэхийг оролдоорой.

Эхний зураг нь энгийн гурвалжинг харуулж байна. Хоёрдахь зураг дээр түүний дотоод зангилаанууд тэмдэглэгдсэн бөгөөд тэдгээрийн тоо нь n = 10. Гурав дахь зураг дээр хил дээр хэвтэж буй зангилаанууд тэмдэглэгдсэн, нийт k = 6 байна.

Магадгүй олон уншигчид n ба k тоог хэрхэн тоолохыг ойлгодоггүй байх. Дотоод зангилаанаас эхэл. Энд бүх зүйл тодорхой байна: бид гурвалжинг харандаагаар будаж, хэдэн зангилаа сүүдэрлэж байгааг хараарай.

Хилийн зангилааны хувьд энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. олон өнцөгт хил - хаагдсан тасархай шугам, энэ нь координатын сүлжээг олон цэгээр огтолдог. Хамгийн хялбар арга бол "эхлэх" цэгийг тэмдэглээд дараа нь үлдсэн хэсгийг тойрч гарах явдал юм.

Хилийн зангилаанууд нь зөвхөн нэг зэрэг огтлолцох полилин дээрх цэгүүд байх болно гурван мөр:

1. Үнэндээ эвдэрсэн шугам;
2. Сүлжээний хэвтээ шугам;
3. босоо шугам.

Бодит асуудалд энэ бүхэн хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Даалгавар. Нүдний хэмжээ 1 х 1 см бол гурвалжны талбайг ол.

Нэгдүгээрт, гурвалжин дотор болон түүний хил дээр байрлах зангилаануудыг тэмдэглэе.

Эндээс харахад зөвхөн нэг дотоод зангилаа байдаг: n = 1. Зургаан хилийн зангилаа байдаг: гурав нь давхцдаг. гурвалжингийн оройтой, мөн гурав нь хажуу тийшээ хэвтэж байна. Нийт k = 6.

Одоо бид талбайг томъёогоор тооцоолно.

Тэгээд л болоо! Асуудал шийдэгдэж.

Даалгавар. 1 см х 1 см хэмжээтэй алаг цаасан дээр дүрсэлсэн дөрвөлжингийн талбайг ол, хариултаа дөрвөлжин см-ээр бич.

Дахин хэлэхэд бид дотоод болон хилийн зангилааг тэмдэглэнэ. n = 2 дотоод зангилаа байна Хилийн зангилаа: k = 7, үүнээс 4 байна дөрвөлжингийн оройнууд, мөн өөр 3 нь хажуу талдаа хэвтэж байна.

Талбайн томьёонд n ба k тоог орлуулах хэвээр байна.

Сүүлийн жишээнд анхаарлаа хандуулаарай. Энэ асуудлыг 2012 онд оношилгооны ажилд дэвшүүлсэн. Хэрэв та стандарт схемийн дагуу ажиллавал олон тооны нэмэлт бүтээн байгуулалт хийх шаардлагатай болно. Мөн зангилааны аргаар бүх зүйлийг бараг амаар шийддэг.

Талбайн талаархи чухал тэмдэглэл

Гэхдээ томъёо нь бүх зүйл биш юм. Баруун талд байгаа нэр томъёог авчирч томъёогоо бага зэрэг дахин бичье нийтлэг хуваагч руу. Бид авах:

n ба k тоонууд нь зангилааны тоо бөгөөд тэдгээр нь үргэлж бүхэл тоо юм. Тэгэхээр бүхэл тоологч нь мөн бүхэл тоо юм. Бид үүнийг 2-т хуваадаг бөгөөд энэ нь чухал баримтыг илтгэнэ.

Талбай нь үргэлж илэрхийлэгддэг бүхэл тоо эсвэл бутархай. Түүнээс гадна, бутархайн төгсгөлд үргэлж "аравны тав" байдаг: 10.5; 17.5 гэх мэт.

Тиймээс В5 бодлогын талбай нь үргэлж ***.5 хэлбэрийн бүхэл тоо эсвэл бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Хариулт нь өөр байвал хаа нэгтээ алдаа гаргасан гэсэн үг. Та математикийн жинхэнэ шалгалт өгөхдөө үүнийг санаарай!

Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google акаунт (бүртгэл) үүсгэн нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com

Слайдын тайлбар:

7-р дунд сургуулийн 8 "А" ангийн сурагч Юношева Ксения төгссөн Багш: Бабина Наталья Алексеевна Сальск 2011 он "Оргил Формула"

Ажлын зорилго: Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс өөр өөр нэг зүйл байгаа эсэхийг олж мэдэх, торны олон өнцөгтийн талбайг олох томъёо. Хүссэн томъёоны хэрэглээний талбарууд.

Оршил. Ерөнхий боловсролын сургуульд математикийн боловсрол олгох нь ерөнхий боловсрол, ерөнхий соёлын чухал бүрэлдэхүүн хэсэг юм орчин үеийн хүн. Энэ үе шатанд сургуулийн тогтолцоо нь арван нэгэн жилийн боловсролд зориулагдсан байдаг. Арваннэгдүгээр анги төгссөн бүх сурагчид сургуульд сурч байхдаа олж авсан мэдлэгийн түвшинг харуулах Улсын нэгдсэн шалгалт өгөх ёстой. Гэхдээ сургуулийн сургалтын хөтөлбөр нь аливаа асуудлыг шийдвэрлэх хамгийн оновчтой арга замыг үргэлж өгдөггүй. Тухайлбал, 2010 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын дүнг харахад В6 даалгавраас болж олон сурагч оноо алдаж байгаа нь харагдаж байна. Яаж цаг хэмнэж, энэ асуудлаа зөв шийдэх вэ гэсэн бодолтой явлаа.

B6 даалгавар. 1 см х 1 см хэмжээтэй нүдтэй алаг цаасан дээр дүрсүүдийг дүрсэлсэн (зураг харна уу). Тэдний талбайг квадрат см-ээр ол.

Тиймээс, энэ даалгаврыг шийдвэрлэхийн тулд би 8-р ангид сурдаг талбайг олох томъёог ашиглах хэрэгтэй. Гэхдээ энэ нь маш их цаг хугацаа шаардагдах бөгөөд би асуултанд аль болох хурдан хариулах хэрэгтэй. шалгалт өгөх цаг хатуу хязгаарлагдмал. Тиймээс би судалгаа хийснийхээ дараа сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт судлагдаагүй ч даалгавраа хурдан давахад туслах Пикийн теорем байгааг олж мэдсэн.

Түүхийн лавлагаа. Георг Александр Пик (1859 оны 8 сарын 10 – 1942 оны 7 сарын 26) нь Австрийн математикч юм. Тэрээр Терезин хорих лагерьт нас баржээ. Энэ нь олон өнцөгтийн торны талбайг тодорхойлох Пикийн томъёоны ачаар өнөөдөр мэдэгдэж байна. Тэрээр 1899 онд өөрийн томьёогоо цаасан дээр нийтэлсэн бөгөөд Хюго Штайнхаус 1969 онд Математикийн зургуудын хэвлэлд оруулснаар энэ нь алдартай болсон. Пик Венийн их сургуульд суралцаж, 1880 онд докторын зэрэг хамгаалсан. Докторын зэрэг хамгаалсны дараа тэрээр Прага дахь Шерл-Фердинандын нэрэмжит их сургуульд Эрнест Махын туслахаар томилогдсон. 1881 онд тэнд багш болсон. 1884 онд их сургуулиасаа чөлөө аваад Лейпцигийн их сургуульд Феликс Клейнтэй хамтран ажиллаж эхэлсэн. Тэрээр 1927 онд тэтгэвэрт гарах хүртлээ Прага хотод үлдэж, Вена руу буцаж ирэв. Пик 1911 онд Альберт Эйнштейнийг математикийн физикийн профессороор томилсон (тэр үеийн) Германы Прагийн их сургуулийн хороог даргалж байв. Пик Чехийн Шинжлэх ухаан, урлагийн академийн гишүүнээр сонгогдсон ч Прага хотыг нацистууд эзлэн авсны дараа хөөгджээ. 1927 онд зодог тайлсны дараа Пик төрсөн нутаг Вена руу буцаж ирэв. Аншлюсын дараа 1938 оны 3-р сарын 12-нд нацистууд Австри руу ороход Пик Прага руу буцаж ирэв. 1939 оны 3-р сард нацистууд Чехословак руу довтлов. Георг 1942 оны 7-р сарын 13-нд Терезин хорих лагерьт илгээгдэж, хоёр долоо хоногийн дараа нас баржээ.

Пикийн теорем. Пикийн теорем нь комбинатор геометр ба тооны геометрийн сонгодог үр дүн юм. Бүхэл оройтой олон өнцөгтийн талбай нь B + D/2 - 1 нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд B нь олон өнцөгт доторх бүхэл цэгүүдийн тоо, D нь олон өнцөгтийн зааг дээрх бүхэл цэгүүдийн тоо юм.

Пикийн теоремын сайхан нотолгоо. Ийм олон өнцөгтийг торны зангилааны оройтой гурвалжинд хялбархан хувааж болно, дотор болон хажуу талдаа зангилаа байхгүй. Эдгээр бүх гурвалжны талбайнууд ижил бөгөөд 1/2-тэй тэнцүү, тиймээс олон өнцөгтийн талбай нь T тооны талтай тэнцүү болохыг харуулж болно. Энэ тоог олохын тулд бид n-ээр тэмдэглэнэ. олон өнцөгтийн талуудын тоо, i-ээр - доторх зангилааны тоо, b-ээр - хажуугийн зангилааны тоо, түүний дотор оройнууд. Бүх гурвалжны өнцгийн нийлбэр πТ байна. Одоо энэ нийлбэрийг өөр аргаар олъё. Аливаа дотоод зангилааны оройтой өнцгүүдийн нийлбэр нь 2 π, i.e. нийт дүнийм өнцөг нь 2 π i-тэй тэнцүү байна; Хажуу талын зангилааны өнцгүүдийн нийлбэр нь орой дээр биш, (b - n) π, олон өнцөгтийн оройнуудын өнцгийн нийлбэр нь (n - 2) π байна. Тиймээс π T \u003d 2i π + (b - n) π + (n - 2) π, үүнээс бид Пикийн томъёо гэгддэг олон өнцөгтийн S талбайн илэрхийлэлийг олж авдаг. Жишээлбэл, зураг дээр b = 9, i = 24, тиймээс олон өнцөгтийн талбай нь 27.5 байна.

Өргөдөл. Тиймээс, B6 даалгавар руу буцна уу. Одоо бид шинэ томъёог мэдсэнээр энэ дөрвөлжингийн талбайг хялбархан олох боломжтой. B нь 5 тул; D - 14, дараа нь 5 + 14: 2-1 \u003d 11 (см квадрат) Энэ дөрвөлжингийн талбай нь 11 см квадрат байна.

Үүнтэй ижил томъёог ашиглан бид гурвалжны талбайг олох боломжтой. B-14, G-10, дараа нь 14+10:2-1=18 (квадрат см) тул энэ гурвалжны талбай нь 18 см квадрат байна.

Хэрэв B-9, D-12 бол: 9+12:2-1=14 (см квадрат) Энэ дөрвөн өнцөгтийн талбай нь 14 см квадрат байна.

Томъёоны хамрах хүрээ. Томьёог янз бүрийн шалгалт, даалгавар гэх мэт ажилд ашигладагаас гадна бидний эргэн тойрон дахь бүх ертөнцийг дагалддаг.

Пикийн томъёогоор S = B + ½ G-1 1) их бие B=9, G=26, S=9+½ 26-1=9+13-1= 21 2) сүүл B=0, G=8, S= 0 +½ 8 -1= 3 3) S= 21+3=24

Пикийн томъёоны дагуу S \u003d B + ½ G-1 B \u003d 36, G \u003d 21 S \u003d 36 + ½ 21 -1 \u003d 36 + 10.5-1 \u003d 45.5

Дүгнэлт. Үүний үр дүнд сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт тусгагдаагүй талбайн асуудлыг шийдвэрлэх олон янзын арга байдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрч, Pick томъёоны жишээн дээр харуулсан.

Лавлах. Өөрөө огтлолцоогүй олон өнцөгтийг бүх орой нь бүхэл тоон координаттай цэгүүдэд (декарт координатын системд) байвал түүнийг торны олон өнцөгт гэнэ. Хэрэв координат нь хоёулаа бүхэл тоо байвал координатын хавтгай дахь цэгийг бүхэл тоо гэж нэрлэдэг.

Энэ сэдэв нь 10-11-р ангийн сурагчдад шалгалтанд бэлтгэхэд сонирхолтой байх болно. Оргил томьёог алаг цаасан дээр дүрсэлсэн дүрсийн талбайг тооцоолохдоо ашиглаж болно (энэ ажлыг USE тест, хэмжих материалд санал болгосон).

Хичээлийн үеэр

"Математикийн хичээл маш ноцтой юм

боломжийг алдахгүй байх нь ашигтай

үүнийг жаахан хөгжилтэй болго"

(Б. Паскаль)

Багш:Сургуулийн сурах бичгээс гардаггүй, ер бусын асуудал байна уу? Тийм ээ, эдгээр нь алаг цаасан дээрх даалгаварууд юм. Ийм даалгавар нь шалгалтын хяналтын болон хэмжих материалд байдаг. Ийм бодлогуудын онцлог нь юу вэ, алаг цаасан дээрх асуудлыг ямар арга, техникээр шийддэг вэ? Энэ хичээлээр бид дүрсэлсэн зургийн талбайг олохтой холбоотой алаг цаасан дээрх даалгавруудыг судалж, алаг хуудсан дээр зурсан олон өнцөгтүүдийн талбайг хэрхэн тооцоолох талаар сурах болно.

Багш:Судалгааны объект нь алаг цаасан дээрх даалгавар байх болно.

Бидний судалгааны сэдэв нь алаг цаасан дээрх олон өнцөгтийн талбайг тооцоолох асуудал байх болно.

Мөн судалгааны зорилго нь Оргил томъёо байх болно.

B - олон өнцөгт доторх бүхэл цэгийн тоо

Г - олон өнцөгтийн хил дээрх бүхэл цэгүүдийн тоо

Энэ бол алаг цаасны зангилааны оройтой огтлолцолгүйгээр дурын олон өнцөгтийн талбайг тооцоолоход ашиглаж болох хялбар томъёо юм.

Пик гэж хэн бэ? Оргил Георг Александров (1859-1943) - Австрийн математикч. Томьёог 1899 онд нээсэн.

Багш:Таамаглал дэвшүүлье: Пик томъёогоор тооцоолсон зургийн талбай нь геометрийн томъёогоор тооцоолсон зургийн талбайтай тэнцүү байна.

Алаг цаасан дээрх асуудлыг шийдвэрлэхэд бидэнд геометрийн төсөөлөл, бидний мэддэг маш энгийн мэдээлэл хэрэгтэй болно.

Тэгш өнцөгтийн талбай нь зэргэлдээ талуудын бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь зөв өнцгийг бүрдүүлж буй талуудын үржвэрийн тал хувь юм.

Багш:Сүлжээний зангилаа нь сүлжээний шугамууд огтлолцдог цэгүүд юм.

Олон өнцөгтийн дотоод зангилаа нь цэнхэр өнгөтэй байна. Олон өнцөгтийн хил дээрх зангилаанууд нь хүрэн өнгөтэй байна.

Бид зөвхөн ийм олон өнцөгтийг авч үзэх болно, тэдгээрийн бүх орой нь алаг цаасны зангилаанууд дээр байрладаг.

Багш:Гурвалжингийн талаар судалгаа хийцгээе. Эхлээд бид гурвалжны талбайг Оргил томъёогоор тооцоолно.

IN + Г/2 − 1 , Хаана IN Г- олон өнцөгтийн хил дээрх бүхэл цэгүүдийн тоо.

B = 34, G = 15,

IN + Г/2 − 1 = 34 + 15 :2 − 1 = 40, 5 Хариулт: 40.5

Багш аа: Одоо бид геометрийн томъёог ашиглан гурвалжны талбайг тооцоолж байна. Алаг цаасан дээр зурсан аливаа гурвалжны талбайг тэгш өнцөгт гурвалжин ба тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэр буюу зөрүүгээр дүрсэлж, талууд нь зурсан гурвалжингийн оройг дайран өнгөрдөг тор шугамын дагуу хялбархан тооцоолж болно. гурвалжин. Оюутнууд дэвтэр дээрээ тооцоогоо хийдэг. Дараа нь тэд самбар дээрх тооцоогоор үр дүнгээ шалгана.

Багш:Судалгааны үр дүнг харьцуулж, дүгнэлт гарга. Оргил томьёо ашиглан тооцоолсон зургийн талбай нь геометрийн томъёог ашиглан тооцоолсон зургийн талбайтай тэнцүү болохыг бид олж мэдсэн. Тиймээс таамаглал зөв болсон.

Дараа нь багш геометрийн томъёо, Сонгох томъёог ашиглан "өөрийн" дурын олон өнцөгтийн талбайг тооцоолж, үр дүнг харьцуулахыг санал болгож байна. Та математикийн судалгааны сайт дээр Peak томъёогоор "тоглох" боломжтой.

Өгүүллийн төгсгөлд "Пик томьёо ашиглан дурын олон өнцөгтийн талбайг тооцоолох" сэдэвт илтгэлүүдийн нэгийг санал болгож байна.

Дэлгэрэнгүй хЖишээ:

Бүхэл оройтой олон өнцөгтийн талбай нь IN + Г/2 − 1 , Хаана INолон өнцөгт доторх бүхэл цэгийн тоо, ба Гнь олон өнцөгтийн зааг дээрх бүхэл цэгүүдийн тоо юм.

B = 10, G = 6,

IN + Г/2 − 1 = 10 + 6 :2 − 1 = 12 ХАРИУЛТ: 12

Багш аа: Би танд дараах ажлуудыг шийдвэрлэхийг санал болгож байна.

Хариулт: 12

Хариулт: 13

Хариулт: 9

Хариулт: 11.5

Хариулт: 4

1 см х 1 см хэмжээтэй алаг цаасан дээр зурсан гурвалжны талбайг ол (зураг харна уу). Хариултаа квадрат см-ээр өг.

Алаг цаасан дээрх олон өнцөгтийн талбайг тооцоолохын тулд энэ олон өнцөгт хэдэн нүдийг хамарч байгааг тооцоолоход хангалттай (бид нүдний талбайг нэгж болгон авдаг). Илүү нарийн, хэрэв СЭнэ нь олон өнцөгтийн талбай, олон өнцөгт дотор бүхэлдээ байрлах эсийн тоо ба олон өнцөгтийн дотоод талтай дор хаяж нэг нийтлэг цэгтэй нүднүүдийн тоо юм.

Доор бид зөвхөн ийм олон өнцөгтийг авч үзэх болно, тэдгээрийн бүх оройнууд нь алаг цаасны зангилаанууд дээр байрладаг - торны шугамууд огтлолцдог газруудад байдаг. Ийм олон өнцөгтийн хувьд та дараах томъёог зааж өгч болно.

газар хаана байна, rЭнэ нь олон өнцөгт дотор байрлах зангилааны тоо юм.

Энэ томьёог 1899 онд нээсэн математикчийн нэрээр "Оргил томьёо" гэж нэрлэдэг.

энгийн гурвалжин

Алаг цаасан дээр зурсан аливаа гурвалжны талбайг тэгш өнцөгт гурвалжин ба тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэр буюу зөрүүгээр дүрсэлж, талууд нь зурсан гурвалжны оройг дайран өнгөрдөг тор шугамыг дагаж хялбархан тооцоолж болно. Үүнийг хийсний дараа, жишээлбэл, Зураг 1.34-т үзүүлсэн гурвалжны хувьд та талбай нь үргэлж "хүлээн авсан" тоо - маягтын тоо, бүхэл тоотой тэнцүү байгаа эсэхийг шалгаж болно.

Гурвалжны оройгоос бусад дотор болон хажуу талд нь торны зангилаа байхгүй бол түүнийг энгийн гэж нэрлэе. Зураг дээрх бүх энгийн гурвалжин. 1.34 талбайтай. Энэ нь санамсаргүй зүйл биш гэдгийг бид харах болно.

Даалгавар. Гурван царцаа (гурван цэг) эхний мөчид нэг эсийн гурван оройд сууж, дараа нь "үсрэлт" тоглож эхэлдэг: тус бүр нөгөө хоёрын аль нэгийг нь давж, дараа нь тэгш хэмтэй цэг дээр төгсдөг. түүнд (Зураг. 1.35, тодорхой, ийм олон тооны үсрэлтийн дараа царцаа алаг цаасны зангилаа руу унах болно). Царцаа хэд хэдэн удаа үсэрсэний дараа ямар гурвалсан оноотой байж чадах вэ?

Гурван царцаа түүний орой дээр нэгэн зэрэг гарч ирвэл бид хүрэх боломжтой гурвалжинг гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээр нь анх нэг эсийн гурван орой дээр байсан; Бид үсрэлтийг гурвалжны хувиргалт гэж нэрлэх бөгөөд энэ нь нэг орой нь бусад хоёр оройн аль нэгэнд нь тэгш хэмтэй цэг рүү очдог (эдгээр хоёр орой нь байрандаа хэвээр байна).

Теорем 1. Алаг цаасан зангилаа бүхий гурвалжны дараах гурван шинж чанар нь хоорондоо тэнцүү байна.

1) гурвалжин нь талбайтай,

2) гурвалжин нь энгийн,

3) гурвалжинд хүрэх боломжтой.

Энгийн гурвалжны дараах шинж чанаруудтай танилцацгаая, энэ теоремыг үнэн зөв болгоход хүргэж байна.

1. Гурвалжны талбай үсрэх үед өөрчлөгддөггүй.

2. Аливаа хүрч болох гурвалжин талбайтай.

3. Хэрэв та энгийн гурвалжинг дуусгавал ABCпараллелограмм руу A B C D, дараа нь энэ параллелограммын дотор болон хажуу талд (оройнуудыг тооцохгүй) ямар ч зангилаа байхгүй болно.

4. Энгийн гурвалжингаас үсэрч байхдаа энгийн нэгийг авдаг.

5. Энгийн гурвалжнаас харахад аль нэг өнцөг нь мохоо буюу зөв байна (түүнээс гадна, сүүлийн тохиолдол нь зөвхөн гурван орой нь нэг нүдэнд хамаарах гурвалжны хувьд боломжтой, бид 1, 1 талтай ийм энгийн гурвалжныг хамгийн бага гэж нэрлэх болно. )

6. Хамгийн бага биш ямар ч энгийн гурвалжнаас үсэрч хамгийн том тал нь анхны талынх нь хамгийн том талаас бага гурвалжинг гаргаж болно.

7. Ямар ч энгийн гурвалжинг хязгаарлагдмал тооны үсрэлтээр хамгийн бага гурвалжинг болгон хувиргаж болно.

8. Аливаа энгийн гурвалжинд хүрэх боломжтой.

9. Аливаа энгийн гурвалжин талбайтай.

10. Ямар ч гурвалжинг энгийн болгон хайчилж болно.

11. Аливаа гурвалжны талбай тэнцүү бөгөөд үүнийг энгийн болгон огтлоход тэдгээрийн тоо нь байна. м.

12. Аливаа талбайн гурвалжин нь энгийн.

13. Дурын хоёр зангилааны хувьд АТэгээд INөөр ямар ч зангилаа байхгүй сегмент дээр lattices, зангилаа байдаг ХАМТийм гурвалжин ABC- энгийн.

14. Зангилаа ХАМТӨмнөх өмчид та үргэлж өнцгийг сонгох боломжтой ШШГЕГшулуухан эсвэл шулуун байх.

15. Бүх зангилаа нь параллелограммын орой байхаар алаг хавтгайг тэнцүү параллелограмм болгон таслав. Дараа нь эдгээр параллелограммуудын аль нэгийг нь диагональаар нь зүссэн гурвалжин бүр энгийн байна.

16. (Урвуу 15). Гурвалжин ABCгагцхүү бүх боломжит гурвалжныг олж авсан тохиолдолд л энгийн ABCзангилаа шилжүүлдэг зэрэгцээ шилжүүлэг Аторны янз бүрийн зангилаа руу давхцаж болохгүй.

17. Хэрэв тор - алаг цаасны зангилаанууд нь нүдтэй дөрвөн дэд сүлжээнд хуваагдвал (Зураг 1.36), энгийн гурвалжны оройнууд нь заавал гурван өөр дэд сүлжээнд (гурвуулаа өөр өөр тэмдэглэгээтэй) багтах болно.

Дараагийн хоёр шинж чанар нь гурван царцааны асуудлын хариултыг өгдөг.

18. Гурван царцаа энгийн гурвалжны оройн үүрэг гүйцэтгэдэг, эхний гурвалжны харгалзах оройтой ижил тэмдэгтэй цэгүүдийн зөвхөн гурвалсан хэсгийг зэрэг цохиж чадна.

19. Хоёр царцаа нь өөр ямар ч зангилаа байхгүй сегмент дээр харгалзах тэмдгүүдийн хос зангилаануудыг нэгэн зэрэг цохиж чадна.

Олон өнцөгт гурвалжин

Сонгох томъёонд утгууд нь харгалзах алаг цаасан дээрх олон өнцөгтийн тодорхой хэлбэрийг авч үзэх болно. Гэхдээ энэ тодорхой тохиолдлоос та дурын олон өнцөгтийг гурвалжин болгон хайчлах теоремыг ашиглан хамгийн ерөнхий зүйл рүү шууд очиж болно (албан цаас хэрэггүй болсон).

Хавтгай дээр хэдэн олон өнцөгт болон төгсгөлөг олонлог өгье TOолон өнцөгт дотор болон түүний хил дээр байрлах цэгүүд (түүнээс гадна олон өнцөгтийн бүх орой нь олонлогт хамаарна. TO).

Оройтой гурвалжин TOөгөгдсөн олон өнцөгтийг олонлог дахь оройтой гурвалжинд хуваахыг гэнэ TOцэг бүр нь TOЭнэ цэг нь хамаарах гурвалжин гурвалжин бүрийн орой болж үйлчилдэг (өөрөөр хэлбэл, цэгүүд) TOгурвалжны дотор болон хажуу тал дээр унаж болохгүй, зураг. 1.37).

Теорем 2. a) Аливаа n-gon-ыг диагональаар гурвалжин болгон хувааж болох бөгөөд гурвалжны тоо тэнцүү байх болно n- 2 (энэ хуваалт нь оройн оройтой гурвалжин юм n-гон).

б) зөвшөөр rцэгүүд (бүх оройг оруулаад), дотор нь - илүү бионоо. Дараа нь тэмдэглэсэн цэгүүд дээр оройтой гурвалжин байх бөгөөд ийм гурвалжны гурвалжны тоо тэнцүү байх болно.

Мэдээжийн хэрэг, a) нь b)-ийн онцгой тохиолдол юм.

Энэ теоремын хүчинтэй байдал нь дараах баталгаанаас үүдэлтэй.

1) Хамгийн том өнцгийн оройноос n-gon () та үргэлж олон өнцөгт дотор бүхэлдээ байрлах диагональ зурж болно.

2) Хэрэв n-гон диагональ болгон зүснэ Р-гон ба q- тэгвэл.

3) өнцгүүдийн нийлбэр n-гон тэнцүү байна.

4) Ямар ч n-гоныг диагональ байдлаар гурвалжин болгон хайчилж болно.

5) Дотор ба хил дээр хэд хэдэн цэг тэмдэглэгдсэн аливаа гурвалжны хувьд (түүний бүх гурван оройг оруулаад) тэмдэглэсэн цэгүүдэд оройтой гурвалжин байдаг.

6) Энэ нь аль ч тохиолдолд мөн адил юм n-гон.

7) Гурвалжин гурвалжны тоо нь хаана байна биТэгээд r- олон өнцөгтийн дотор болон хил дээрх тэмдэглэгдсэн цэгүүдийн тоо. Хуваалтыг дуудъя n-Гон хуваалтын аль нэгнийх нь орой бүр нь харьяалагдах бусад бүх хуваалтын олон өнцөгтүүдийн орой болж байвал хэд хэдэн олон өнцөгт рүү орох нь зөв. 8) Хэрэв оройн цэгүүдээс к-гонс аль нь зөв замаар хуваагддаг n-гон, биоройнууд дотор байрладаг ба r- хил дээр n-гон, дараа нь дугаар к-гонс тэнцүү байна

9) Хэрэв хавтгайн цэгүүд ба эдгээр цэгүүдийн төгсгөлтэй хэрчмүүд нь олон өнцөгтийг зөв хуваасан олон өнцөгт үүсгэдэг бол (Зураг 1.38)

1 ба 2-р теоремуудаас Pick томъёо дараах байдалтай байна.

1.5 Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл дээр баригдсан квадратуудын талбайн нийлбэрийн тухай Пифагорын теорем

Теорем. Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл дээр баригдсан квадратуудын талбайн нийлбэр нь энэ гурвалжны гипотенуз дээр баригдсан талбайн талбайтай тэнцүү байна.Баталгаа. Болъё ABC(Зураг 1.39) нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд BDEA, AFGEТэгээд BCKH- хөл, гипотенуз дээр баригдсан квадратууд; Эхний хоёр квадратын талбайн нийлбэр нь гурав дахь квадратын талбайтай тэнцүү болохыг батлах шаардлагатай.

зарцуулцгаая нар. Дараа нь дөрвөлжин BCKHхоёр тэгш өнцөгт болгон хуваасан. Тэгш өнцөгт гэдгийг баталцгаая BLMHквадраттай тэнцүү BDEA, мөн тэгш өнцөгт LCKMквадраттай тэнцүү AFGC.

Туслах шугамыг зур DCТэгээд АН. Гурвалжныг авч үзье DCBТэгээд ABH. Гурвалжин DCBүндэслэлтэй Б.Д, дөрвөлжинтэй нийтлэг BDEA, мөн өндөр CN, өндөртэй тэнцүү ABэнэ квадрат талбайн хагастай тэнцүү байна. Гурвалжин AVNүндэслэлтэй В.Н, тэгш өнцөгттэй нийтлэг BLMH, ба өндөр AR, өндөртэй тэнцүү BLэнэ тэгш өнцөгтийн тал нь тэнцүү байна. Эдгээр хоёр гурвалжныг бие биентэйгээ харьцуулж үзвэл тэдгээр нь байгаа болохыг олж мэдэв Б.Д = VAТэгээд BC = HH(дөрвөлжингийн талууд гэх мэт);

Үүнээс илүү, DCB = AVN, учир нь эдгээр өнцөг бүр нь нийтлэг хэсгээс бүрддэг - ABCба зөв өнцөг. Тиймээс гурвалжингууд AVNТэгээд BCDтэнцүү байна. Дараа нь тэгш өнцөгт байна BLMNквадраттай тэнцүү BDEA. Үүнтэй адил тэгш өнцөгт нь батлагдсан LGKMквадраттай тэнцүү AFGC. Үүний дараа дөрвөлжин байна FAPCквадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна BDEAТэгээд AFGC.

Оргил томъёо

Сажина Валерия Андреевна, Эрхүү мужийн Усть-Илимск хотын "11-р дунд сургууль" МАОУ-ын 9-р ангийн сурагч

Удирдагч: Губар Оксана Михайловна, Эрхүү мужийн Усть-Илимск хотын МАОУ "11-р дунд сургууль" дээд зэрэглэлийн математикийн багш

2016 он

Оршил

"Олон өнцөгтийн талбайнууд" геометрийн сэдвийг судалж байхдаа би олж мэдэхээр шийдсэн: бидний хичээл дээр судалсан хэсгүүдээс өөр газар нутгийг олох арга бий юу?

Энэ бол Оргил томъёо юм. Л.В.Горина "Оюутнуудыг бие даан сургах материалууд" номдоо энэ томъёог дараах байдлаар тайлбарлав: "Сонгох томъёотой танилцах нь өмнөх өдөр онцгой чухал юм. шалгалтанд тэнцэхболон ТЕГ. Энэхүү томьёог ашигласнаар та шалгалтанд санал болгож буй олон төрлийн асуудлыг хялбархан шийдэж чадна - эдгээр нь алаг цаасан дээр дүрслэгдсэн олон өнцөгтийн талбайг олоход зориулагдсан асуудлууд юм. Пикийн жижиг томьёо нь ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүхэл бүтэн томъёог орлох болно. Peak-ийн томъёо нь "нэг нь бүгдэд ..." ажиллах болно!

USE материалаас би тухайн газар нутгийг хайж олох практик агуулгатай даалгавруудыг олж мэдсэн газар. Би энэ томьёо нь сургуулийн талбай, хотын бичил дүүрэг, бүс нутгийг олоход хамааралтай эсэхийг шалгахаар шийдсэн. Асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах нь оновчтой юу.

Судалгааны объект: Пикийн томъёо.

Судалгааны сэдэв: асуудлыг шийдвэрлэхэд Пик томъёог ашиглах оновчтой байдал.

Ажлын зорилго: алаг цаасан дээр дүрсэлсэн дүрсүүдийн талбайг олох асуудлыг шийдвэрлэхдээ Pick томъёог ашиглах оновчтой байдлыг нотлох.

Судалгааны аргууд: загварчлах, харьцуулах, нэгтгэх, аналоги хийх, уран зохиолын болон интернетийн нөөцийг судлах, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх, ангилах.

Шаардлагатай ном зохиолыг сонгох, хүлээн авсан мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх, системчлэх;

Алаг цаасан дээрх асуудлыг шийдвэрлэх янз бүрийн арга, техникийг авч үзэх;

Оргил томъёог ашиглах оновчтой байдлыг туршилтаар шалгах;

Энэ томъёоны хэрэглээг авч үзье.

Таамаглал: Хэрэв та олон өнцөгтийн талбайг олохын тулд Оргил томъёог ашиглавал тухайн нутаг дэвсгэрийн талбайг олох боломжтой бөгөөд алаг цаасан дээрх асуудлыг шийдэх нь илүү оновчтой байх болно.

Гол хэсэг

Онолын хэсэг

Бид ихэвчлэн зурах, зурахыг илүүд үздэг алаг цаас (илүү нарийвчлалтай, зангилаа) нь хавтгай дээрх тасархай торны хамгийн чухал жишээнүүдийн нэг юм. Энэхүү энгийн тор нь К.Гаусын хувьд тойргийн талбайг дотор нь байрлах бүхэл тоон координаттай цэгүүдийн тоотой харьцуулах эхлэл болсон юм. Хавтгай дээрх дүрсүүдийн талаарх зарим энгийн геометрийн мэдэгдлүүд арифметик судалгаанд гүн гүнзгий үр дагавартай байдгийг Г.Минковски 1896 онд геометрийн аргуудыг анх тоо-онолын бодлогыг авч үзэхдээ тодорхой анзаарчээ.

Алаг цаасан дээр олон өнцөгт зуръя (Хавсралт 1, Зураг 1). Одоо түүний талбайг тооцоолохыг хичээцгээе. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Магадгүй хамгийн хялбар арга бол үүнийг тэгш өнцөгт гурвалжин ба трапец хэлбэрээр хуваах бөгөөд тэдгээрийн талбайг тооцоолох, үр дүнг нэмэхэд хялбар байдаг.

Ашигласан арга нь энгийн, гэхдээ маш төвөгтэй бөгөөд үүнээс гадна бүх олон өнцөгтүүдэд тохиромжгүй байдаг. Тиймээс дараагийн олон өнцөгтийг өмнөх тохиолдолд хийсэн шиг тэгш өнцөгт гурвалжинд хувааж болохгүй (Хавсралт 2, Зураг 2). Жишээлбэл, та үүнийг бидэнд хэрэгтэй "сайн" хэсэгт, өөрөөр хэлбэл тодорхойлсон аргаар тооцоолж чадах талбай руу нэмж оруулаад дараа нь гарсан тооноос нэмсэн хэсгүүдийн талбайг хасч болно.

Гэсэн хэдий ч, дөрвөлжин торны зангилааны оройтой ийм олон өнцөгтүүдийн талбайг тооцоолох боломжийг олгодог маш энгийн томъёо байдаг.

Энэ томьёог 1899 онд Австрийн математикч Пик Георг Александров (1859 - 1943) нээжээ. Энэ томъёоноос гадна Георг Пик Пик, Пик-Жулиа, Пик-Невалин теоремуудыг нээж, Шварц-Пикийн тэгш бус байдлыг нотолсон.

Энэ томьёог Пик нийтлэснээс хойш хэсэг хугацаанд анзаарагдаагүй боловч 1949 онд Польшийн математикч Уго Штайнхаус өөрийн алдарт Математикийн калейдоскопдоо уг теоремыг оруулсан байна. Тэр цагаас хойш Пикийн теорем олонд танигдах болсон. Германд Pick томъёог сургуулийн сурах бичигт оруулсан байдаг.

Энэ бол комбинатор геометр ба тооны геометрийн сонгодог үр дүн юм.

Пикийн томьёоны баталгаа

ABCD нь зангилааны оройнууд ба торны шугамын дагуу явж буй талуудтай тэгш өнцөгт гэж үзье (Хавсралт 3, Зураг 3).

Тэгш өнцөгт дотор байрлах зангилааны тоог B-ээр, хил дээрх зангилааны тоог G-ээр тэмдэглэе. Сүлжээг хагас нүдээр баруун тийш, хагас нүд рүү шилжүүлнэ

доош. Дараа нь тэгш өнцөгтийн нутаг дэвсгэрийг зангилааны хооронд дараах байдлаар "тарааж" болно: В зангилаа бүр нь шилжсэн торны бүхэл нүдийг "хяндаг" ба G зангилаа бүр - 4 хилийн булангийн бус зангилаа - тэн хагас нь. нүд, булангийн цэг бүр нь эсийн дөрөвний нэг юм. Тиймээс тэгш өнцөгтийн талбай нь S байна

С = B + + 4 = B + - 1 .

Тиймээс, зангилааны оройтой тэгш өнцөгтүүд ба торны шугамын дагуух талуудын хувьд бид S = B + - 1 томъёог тогтоов. . Энэ бол Оргил томъёо юм.

Энэ томьёо нь зөвхөн тэгш өнцөгтүүдэд төдийгүй торны зангилааны оройтой дурын олон өнцөгтүүдийн хувьд ч үнэн болох нь харагдаж байна.

Практик хэсэг

Зургийн талбайг геометрийн аргаар болон Pick томъёогоор олох

Би авч үзсэн бүх жишээнүүдэд Пикийн томъёо зөв эсэхийг шалгахаар шийдсэн.

Хэрэв олон өнцөгтийг торны зангилаанууд дээр оройтой гурвалжин болгон хувааж чадвал Пикийн томьёо үүнд үнэн байх болно.

Би 1 см1 см хэмжээтэй нүдтэй алаг цаасан дээрх зарим бодлогуудыг үзэж, асуудлыг шийдвэрлэхэд харьцуулсан дүн шинжилгээ хийсэн (Хүснэгт No1).

Хүснэгт No1 Асуудлыг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх.

Зурах

Геометрийн томъёоны дагуу

Пикийн томъёоны дагуу

Даалгавар №1

S=Sгэх мэт -(2S 1 +2S 2 )

Сгэх мэт =4*5=20 см 2

С 1 =(2*1)/2=1 см 2

С 2 =(2*4)/2=4 см 2

S=20-(2*1+2*4)=10см 2

Хариулт :10 см ².

H = 8, D = 6

С\u003d 8 + 6/2 - 1 \u003d 10 (см²)

Хариулт: 10 см².

Даалгавар №2

a=2, h=4

S=a*h=2*4=8см 2

Хариулт : 8 см ².

H = 6, D = 6

С\u003d 6 + 6/2 - 1 \u003d 8 (см²)

Хариулт: 8 см².

Даалгавар №3

S=Sкв. -(С 1 +2S 2 )

Скв. =4 2 =16 см 2

С 1 \u003d (3 * 3) / 2 \u003d 4.5 см 2

С 2=(1*4)/2=2см 2

С\u003d 16- (4.5 + 2 * 2) \u003d 7.5 см 2

H = 6, D = 5

С\u003d 6 + 5/2 - 1 \u003d 7.5 (см²)

Хариулт: 7.5 см².

Даалгавар №4

S=Sгэх мэт -(С 1 +С 2+ С 3 )

Сгэх мэт =4 * 3=12 см 2

С 1 =(3*1)/2=1,5 см 2

С 2 =(1*2)/2=1 см 2

С 3 =(1+3)*1/2=2 см 2

S=12-(1.5+1+2)=7.5см 2

H = 5, D = 7

С\u003d 5 + 7/2 - 1 \u003d 7.5 (см²)

Хариулт: 7.5 см².

Даалгавар # 5.

S=Sгэх мэт -(С 1 +С 2+ С 3 )

Сгэх мэт =6 * 5=30 см 2

С 1 =(2*5)/2=5 см 2

С 2 =(1*6)/2=3 см 2

С 3 =(4*4)/2=8 см 2

S=30-(5+3+8)=14см 2

Хариулт: 14 см²

H = 12, D = 6

С\u003d 12 + 6/2 - 1 \u003d 14 (см²)

Хариулт: 14 см²

Даалгавар №6.

С tr \u003d (4 + 9) / 2 * 3 \u003d 19.5 см 2

Хариулт: 19.5 см 2

H = 12, D = 17

С\u003d 12 + 17/2 - 1 \u003d 19.5 (см²)

Хариулт: 19.5 см 2

Даалгавар №7. Төлөвлөгөөнд дүрсэлсэн ойн талбайн талбайг (м²) 1 см-ээс 200 м-ийн масштабаар 1 × 1 (см) квадрат тороор ол.

S=S 1 +С 2+ С 3

С 1 =(800*200)/2=80000 м 2

С 2 =(200*600)/2=60000 м 2

С 3 =(800+600)/2*400=

280000 м 2

S = 80000+60000+240000=

420000м2 талбайтай

Хариулт: 420,000 м²

V = 8, D = 7. С\u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10.5 (см²)

1 см² - 200² м²; С= 40,000 10,5 = 420,000 (м²)

Хариулт: 420,000 м²

Даалгавар №8 . Төлөвлөгөөнд үзүүлсэн талбайн талбайг (м²-ээр) 1 × 1 (см) хэмжээтэй дөрвөлжин сүлжээгээр олоорой.

1 см - 200 м.

С= Скв -2( С tr + Сшат)

Скв \u003d 800 * 800 \u003d 640000 м 2

С tr \u003d (200 * 600) / 2 \u003d 60000м 2

Сшат =(200+800)/2*200=

100000м2

С=640000-2(60000+10000)=

320000 м2 талбайтай

Хариулт: 320,000 м²

Шийдэл.Олъё СПикийн томъёог ашиглан алаг цаасан дээр зурсан дөрвөлжингийн талбай:С= B + - 1

V = 7, D = 4. С\u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (см²)

1 см² - 200² м²; С= 40000 8 = 320,000 (м²)

Хариулт: 320,000 м²

Даалгавар №9 . Талбайг олС дөрвөлжин нүднүүдийн талыг 1-тэй тэнцүү гэж үзвэл секторууд. Хариултандаа зааж өгнө үү .

Салбар нь тойргийн дөрөвний нэг тул түүний талбай нь тойргийн дөрөвний нэг юм. Тойргийн талбай нь πР 2 , Хаана Р нь тойргийн радиус юм. Манай тохиолдолдР =√5 тэгээд газар нутагС салбар нь 5π/4. ХаанаС/π=1.25.

Хариулт. 1.25.

D= 5, V= 2, С\u003d V + G / 2 - 1 \u003d 2 + 5/2 - 1 \u003d 3.5, ≈ 1,11

Хариулт. 1.11.

Даалгаврын дугаар 10. Талбайг ол С дөрвөлжин нүднүүдийн талыг 1-тэй тэнцүү гэж үзвэл цагираг. Хариултандаа заана уу .

Бөгжний талбай нь гадна ба дотоод тойргийн талбайн зөрүүтэй тэнцүү байна. РадиусР гаднах тойрог нь

2 , радиус r дотоод тойрог нь 2. Тиймээс цагирагийн талбай 4 байнамөн иймээс. Хариулт: 4.

D= 8, V= 8, С\u003d V + G / 2 - 1 \u003d 8 + 8/2 - 1 \u003d 11, ≈ 3,5

Хариулт: 3.5

Дүгнэлт: авч үзсэн даалгаварууд нь математикийн USE хяналтын болон хэмжих материалын хувилбаруудын даалгавартай төстэй юм (даалгавар No5,6).

Бодлогын шийдлүүдээс харахад тэдгээрийн заримыг, жишээлбэл, 2.6-р асуудлыг геометрийн томьёо ашиглан шийдвэрлэхэд хялбар байдаг, учир нь зурагнаас өндөр ба суурийг тодорхойлж болно. Гэхдээ ихэнх даалгаварт дүрсийг илүү энгийн (даалгавар № 7) болгон хуваах эсвэл тэгш өнцөгт (даалгавар № 1, 4, 5), дөрвөлжин (даалгавар № 3, 8) болгон дуусгах шаардлагатай байдаг.

9 ба 10-р асуудлыг шийдсэнээс би Pick томьёог олон өнцөгт биш дүрст хэрэглэхэд ойролцоо үр дүн гардгийг олж харсан.

Оргил томъёог ашиглах оновчтой байдлыг шалгахын тулд би зарцуулсан цаг хугацааны сэдвээр судалгаа хийсэн (Хавсралт 4, хүснэгт No2).

Дүгнэлт: Хүснэгт ба диаграммаас (Хавсралт 4, диаграм 1) Оргил томъёог ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхэд бага цаг зарцуулдаг болохыг харж болно.

Орон зайн хэлбэрийн гадаргуугийн талбайг олох

Энэ томьёог орон зайн хэлбэрт хэрэглэх боломжтой эсэхийг шалгая (Хавсралт 5, Зураг 4).

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн нийт гадаргуугийн талбайг дөрвөлжин нүднүүдийн талыг 1 гэж тооцож ол.

Энэ бол томъёоны алдаа юм.

Нутаг дэвсгэрийн талбайг олохын тулд сонгох томъёог ашиглах

Практик агуулгатай асуудлыг шийдвэрлэхдээ (даалгавар № 7, 8; Хүснэгт № 1) би манай сургуулийн нутаг дэвсгэр, Усть-Илимск хотын бичил дүүргийн нутаг дэвсгэрийг олохын тулд энэ аргыг ашиглахаар шийдсэн. , Эрхүү муж.

"Хилийн төсөл"-тэй танилцлаа газарУсть-Илимскийн MAOUSOSH №11 "(Хавсралт 6), би сургуулийнхаа нутаг дэвсгэрийн талбайг олж, газрын талбайн хилийн төслийн дагуу талбайтай харьцуулсан (Хавсралт 9, Хүснэгт 3) .

Усть-Илимскийн баруун эргийн хэсгийн газрын зургийг (Хавсралт 7) судалж үзээд би бичил дүүргийн нутаг дэвсгэрийг тооцоолж, Эрхүү мужийн Усть-Илимск хотын ерөнхий төлөвлөгөөний мэдээлэлтэй харьцуулав. Үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв (Хавсралт 9, хүснэгт 4).

Эрхүү мужийн газрын зургийг (Хавсралт 7) судалж үзээд би тухайн газрын талбайг олж, Википедиагийн мэдээлэлтэй харьцуулав. Үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв (Хавсралт 9, хүснэгт 5).

Үр дүнд нь дүн шинжилгээ хийсний дараа би дүгнэлтэд хүрсэн: Оргил томъёог ашигласнаар эдгээр газруудыг илүү хялбар олох боломжтой боловч үр дүн нь ойролцоо байна.

Хийсэн судалгаанаас би сургуулийн нутаг дэвсгэрийн талбайг олохдоо хамгийн зөв утгыг олж авсан (Хавсралт 10, диаграм 2). Эрхүү мужийн нутаг дэвсгэрийг олоход үр дүнд илүү их зөрүү гарсан (Хавсралт 10, диаграм 3). Үүнтэй холбоотой. Бүх талбайн хил нь олон өнцөгтийн талууд биш бөгөөд орой нь зангуу цэг биш юм.

Дүгнэлт

Ажлын үр дүнд би алаг цаасан дээрх бодлого шийдвэрлэх мэдлэгээ өргөжүүлж, судалж буй асуудлын ангиллыг өөртөө тодорхойлсон.

Ажлыг гүйцэтгэхдээ алаг цаасан дээр дүрсэлсэн олон өнцөгтийн талбайг геометрийн болон Pick томъёог ашиглан хоёр аргаар олох асуудлыг шийдсэн.

Шийдлийн дүн шинжилгээ, өнгөрсөн хугацааг тодорхойлох туршилт нь томьёог ашиглах нь олон өнцөгтийн талбайг олох асуудлыг илүү оновчтой шийдвэрлэх боломжтой болохыг харуулж байна. Энэ нь математикийн шалгалтанд цаг хэмнэх боломжийг олгоно.

Алаг цаасан дээр дүрсэлсэн янз бүрийн дүрсийн талбайг олсноор дугуй салбар ба цагирагийн талбайг тооцоолохдоо Pick томъёог ашиглах нь тохиромжгүй, учир нь энэ нь ойролцоо үр дүнг өгдөг бөгөөд Pick томъёо нь тийм биш юм гэсэн дүгнэлтэд хүргэв. сансар огторгуйн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Мөн ажилд Оргил томъёог ашиглан янз бүрийн нутаг дэвсгэрийн талбайг олжээ. Төрөл бүрийн нутаг дэвсгэрийн талбайг олохын тулд томъёог ашиглах боломжтой гэж бид дүгнэж болно, гэхдээ үр дүн нь ойролцоо байна.

Миний таамаглал батлагдсан.

Миний сонирхсон сэдэв нэлээд олон талт, алаг цаасан дээрх даалгаварууд нь олон янз, тэдгээрийг шийдвэрлэх арга, техник нь олон янз байдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Тиймээс энэ чиглэлээр үргэлжлүүлэн ажиллахаар шийдсэн.

Уран зохиол

Волков С.Д.. Газрын талбайн хилийн төсөл, 2008, х. 16.

Горина Л.В., Математик. Багшийн бүх зүйл, М: Наука, 2013, No3, х. 28.

Прокопьева В.П., Петров А.Г., Эрхүү мужийн Усть-Илимск хотын ерөнхий төлөвлөгөө, ОХУ-ын Госстрой, 2004. х. 65.

Рисс Е.А., Жарковская Н.М., Алаг цаасны геометр. Оргил томъёо. - Москва, 2009, No 17, х. 24-25.

Смирнова I. M.,. Смирнов В.А., Алаг цаасан дээрх геометр. - Москва, Чистье Пруды, 2009, х. 120.

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov, Практик агуулгатай геометрийн бодлого. – Москва, Чистье Пруды, 2010, х. 150

FIPI математикийн нээлттэй даалгаврын банкны даалгавар, 2015 он.

Усть-Илимск хотын газрын зураг.

Эрхүү мужийн газрын зураг.

Википедиа.