Угловой диаметр дифракционного диска телескопа формула. Дифракционный предел разрешения оптических инструментов. Значение дифракционного предела в оптике и технике
Случай дифракции света с препятствием, имеющим открытую малую часть 1 -й зоны Френеля, представляет особый интерес для практики. Дифракционная картина в данном случае m = R 2 L λ ≪ 1 или R 2 ≪ L λ , наблюдается при больших расстояниях. Когда R = 1 м м, λ = 550 н м, тогда расстояние L будет более двух метров. Такие проведенные в далекую точку лучи считаются параллельными. Данный случай рассматривается как дифракция в параллельных лучах или дифракция Фраунгофера.
Определение 1Главное условие дифракции Фраунгофера – это наличие зон Френеля, проходящих через точку волны, являющихся плоскими относительно друг друга.
При расположении собирающей линзы за препятствием прохождения лучей под углом θ они сходятся в некоторой точке плоскости. Это показано на рисунке 3 . 9 . 1 . Отсюда следует, что любая точка в фокальной плоскости линзы эквивалентна бесконечно удаленной точке в отсутствии линзы.
Рисунок 3 . 9 . 1 . Дифракция в параллельных лучах. Зеленая кривая – распределение интенсивности в фокальной плоскости (масштаб увеличен по оси о х).
Теперь доступна дифракционная картина Фраунгофера, располагаемая в фокальной плоскости линзы. Исходя из геометрической оптики, фокус должен иметь линзу с точечным изображением удаленного предмета. Изображение такого предмета размывается по причине наличия дифракции. Это и есть проявление волновой природы света.
Оптическая иллюзия не дает точечного изображения. Если дифракция Фраунгофера с круглым отверстием диаметра D имеет дифракционное изображение, состоящее из диска Эйри, то на него приходится около 85 % энергии света с окружающими его светлыми и темными кольцами. Это показано на рисунке 3 . 9 . 2 . Полученное пятно принимают за изображение точечного источника и рассматривают как дифракцию Фраунгофера на отверстии.
Определение 2
Для определения радиуса центрального пятна фокальной плоскости линзы используется формула r = 1 , 22 λ D F .
Оправа линзы обладает свойством дифракции света, если лучи падают на нее, то есть выполняет роль экрана. Тогда D обозначается как диаметр линзы.
Рисунок 3 . 9 . 2 . Дифракционное изображение точечного источника (дифракция на круглом отверстии). В центральное пятно попадает около 85 % энергии света.
Дифракционные изображения имеют очень маленькие размеры. Центральное светлое пятно в фокальной плоскости с диаметром линзы D = 5 с м, фокусным расстоянием F = 50 с м, длиной волны в монохроматическом свете λ = 500 н м имеет значение около 0 , 006 м м. Сильное искажение маскируется в фотоаппаратах, проекторах по причине несовершенной оптики. Только высокоточные астрономические приборы могут реализовать дифракционный предел качества изображений.
Дифракционное размытие двух близко расположенных точек может дать результат наблюдения за одной точкой. Когда астрономический телескоп настроен на наблюдение за двумя близкими звездами с угловым расстоянием ψ , то дефекты и аберрации устраняются, за счет этого фокальная плоскость объектива выдает дифракционные изображения звезд. Это рассматривается в качестве дифракционного предела объектива.
Рисунок 3 . 9 . 3 . Дифракционные изображения двух близких звезд в фокальной плоскости объектива телескопа.
Вышеуказанный рисунок объясняет, что расстояние Δ l между центрами дифракционных изображений звезд превышает значение радиуса r центрального светлого пятна. Данный случай позволяет воспринимать изображение раздельно, значит, есть возможность видеть одновременно две близко расположенные звезды.
Если уменьшить угловое расстояние ψ , тогда произойдет перекрывание, что не позволит видеть сразу две близкие звезды. В конце XIX века Дж. Релей предложил считать разрешение условно полным при расстоянии между центрами изображений Δ l равно радиусу r Диска Эйри. Рисунок 3 . 9 . 4 . подробно показывает данный процесс. Равенство Δ l = r считают критерием решения Релея. Отсюда следует, что Δ l m i n = ψ m i n ċ F = 1 , 22 λ D F или ψ m i n = 1 , 22 λ D .
Если телескоп имеет диаметр объектива D = 1 м, тогда есть возможность разрешения двух звезд при нахождении на угловом расстоянии ψ m i n = 6 , 7 ċ 10 – 7 р а д (для λ = 550 н м). Так как разрешающая способность не может быть более значения ψ m i n , то ограничение производится с помощью дифракционного предела космического телескопа, а по причине атмосферных искажений.
Рисунок 3 . 9 . 4 . Предел решения по Релею. Красная кривая – распределение суммарной интенсивности света.
Начиная с 1990 года, космический телескоп Хаббла был выведен на орбиту с зеркалом, имеющим диаметр D = 2 , 40 м. Предельным угловым разрешением телескопа на длине волны λ = 550 н м считают значение ψ m i n = 2 , 8 ċ 10 – 7 р а д. Работа космического телескопа не зависит от атмосферных возмущений. Следует ввести величину R , которая обратная величине предельного угла ψ m i n .
Определение 3
Иначе говоря, величина называется силой телескопа и записывается как R = 1 ψ m i n = D 1 , 22 λ .
Чтобы увеличить разрешающую способность телескопа, увеличивают размер объектива. Эти свойства применимы для глаз. Его работа аналогична телескопу. Диаметр зрачка d з р выступает в роли D . Отсюда предположим, что d з р = 3 м м, λ = 550 н м, тогда для предельного углового разрешения глаза принимаем формулу ψ г л = 1 , 22 λ d з р = 2 , 3 ċ 10 − 4 р а д = 47 " " ≈ 1 " .
Результат оценивается с помощью разрешающей способности глаза, которая выполняется, учитывая размер светочувствительных элементов сетчатки. Делаем вывод: световой пучок с диаметром D и длиной волны λ , благодаря волновой природе света, испытывает дифракционное уширение. Угловая полуширина φ пучка относится к порядку λ D , тогда запись полной ширины пучка d на расстоянии L примет вид d ≈ D + 2 λ D L .
На рисунке 3 . 9 . 5 . отчетливо видно, что при удалении от препятствия происходит трансформация пучка света.
Рисунок 3 . 9 . 5 . Пучок света, расширяющийся вследствие дифракции. Область I – понятие луча света, законы геометрической оптики. Область II – зоны Френеля, пятно Пуассона. Область III – дифракция в параллельных лучах.
Изображение показывает угловое расхождение пучка и его уменьшение при увеличении поперечного размера D . Данное суждение относится к волнам любой физической природы. Отсюда следует, что для посыла узкого пучка на Луну предварительно нужно произвести его расширение, то есть применить телескоп. При направлении лазерного пучка в окуляр он проходит все расстояние внутри телескопа с диаметром D .
Рисунок 3 . 9 . 6 . Разрешение лазерного пучка с помощью телескопической системы.
Только при таких условиях пучок дойдет до поверхности Луны, а радиус пятна запишется как
R ≈ λ D L , где L обозначается как расстояние до Луны. Принимаем значение D = 2 , 5 м, λ = 550 н м, L = 4 ċ 10 6 м, получим R ≈ 90 м. При направлении пучка с диаметром в 1 с м его «засвет» на Луне был бы в виде пятна с радиусом в 250 раз больше.
Микроскоп служит для наблюдения близко расположенных объектов, поэтому разрешающая способность зависит от линейного расстояния между близкими точками. Расположение объекта должно быть вблизи переднего фокуса объектива. Существует специальная жидкость, которой заполняют пространство перед объективом, что наглядно показано на рисунке 3 . 9 . 7 . Геометрически сопряженный объект, находящийся в этой же плоскости с его увеличенным изображением, рассматривается при помощи окуляра. Каждая точка размыта по причине дифракции света.
Рисунок 3 . 9 . 7 . Иммерсионная жидкость перед объективом микроскопа.
Определение 4
Предел разрешения объектива микроскопа был определен в 1874 г Г. Гельмгольцем. Такая формула записывается:
l m i n = 0 , 61 λ n · sin α .
Знак λ требуется для обозначения длины волны, n – для показателя преломления иммерсионной жидкости, α – для обозначения апертурного угла. Величину n · sin α называют числовой апертурой.
Качественные микроскопы имеют ампертурный угол α , который приближен к значению предела α ≈ π 2 . По формуле Гельмгольца наличие иммерсии позволяет улучшить предел разрешения. Предположим, что sin α ≈ 1 , n ≈ 1 , 5 , тогда l m i n ≈ 0 , 4 λ .
Отсюда следует, что микроскоп не дает полной возможности просмотра каких-либо деталей с размерами намного менее размера длины световой волны. Волновые свойства света влияют на предел качества изображения объекта, который получаем с помощью любой оптической системы.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Выше мы рассматривали световые лучи как геометрические прямые, а их пересечения как математические точки. Однако это геометрическое представление годится лишь как первое приближение. Изображение, возникающее в действительности при преломлении" п отражении света, заметно отличается от геометрического изображения, существующего лишь в нашем представлении.
Рассматривая в сильный окуляр изображение звезды, образованное объективом, мы замечаем, что оно не является точкой, как того требует только что разобранная геометрическая схема, а выглядит кружком, окруженным йесколькимп концентрическими кольцами, яркость которых быстро убывает к периферии (рис. 8). Но этот светлый кружок - не истинный диск звезды, а видимый результат явления дифракции света.
Рис. 8. Вид изображений светящихся точек различной яркости при их
рассматривании в фокусе объектива с помощью сильного окуляра,
Светлый центральный кружок называется дифракционным диском, а окружающие его кольца носят название дифракционных колец. Как показывает теория, видимый угловой поперечник дифракционного диска зависит от длины волны света (т. е. от цвета падающих лучей) и от диаметра объектива. Эта зависимость выражается следующей формулой:
где р - угловой радиус дифракционного диска (при на-
блюденгш его из центра объектива), D - диаметр свободного отверстия объектива (в сантиметрах) и К - длина волны света (в сантиметрах). Это выражейие дает угловой радиус диска в радианах; для перевода в градусные меры (секунды дуги) его нужно умножить на значение радиана в секундах. Следовательно,
р = 1,22 ^ 206 265 секунд дуги.
Под таким углом радиус дифракционного диска виден из центра объектива; под таким же углом он проектируется из центра объектива на небесную сферу. Угловой поперечник его будет, разумеется, вдвое больше. Как мы знаем (стр. 20), это равносильно тому, как если бы истинный диск наблюдаемой звезды имел такой угловой поперечник.
Линейный радиус дифракционного диска находится по формуле
г = р/, откуда г - 1,22 7.V.
Таким образом, угловые размеры дифракционной картины изображения определяются диаметром объектива и длиной волны света (цветом лучей) и от / не зависят, а линейные размеры зависят от относительного фокуса и длины волны света, но не зависят от D. Подобным же образом от тех же величин зависят и размеры дифракционных колец, окружающих центральный диск. Из того, что размер колец зависит от длины световой волны, ясно, что в случае белого света они должны быть окрашены в радужные "цвета; в действительности можно заметить, что внутренние края колец имеют синюю окраску, а наружные - красную (так как длина волны синих лучей меньше длины волны красных).
Из этих немногих сведений можно сделать выводы, имеющие большое значение для работы с телескопом: 1) чем больше диаметр объектива, тем мельче подробности, различаемые с его помощью; 2) для каждого объектива существует наименьшее угловое расстояние между двумя светящимися точками (например, звездами), которые еще возможно различить раздельно с помощью данного объектива; это наименьшее угловое расстояние называется предельным углом разрешения или разрешаемым углом и является фундаментальной характеристикой объектива, по которой оценивается его разрешающая
сила. Чем меньше предельный угол разрешения, тем выше разрешающая сила объектива.
Реальное значение разрешающей силы станет нам вполне ясным, если мы будем наблюдать двойные звезды с малыми угловыми расстояниями между компонентами. Если бы изображения звезд в фокусе объектива были точками, то при сколь угодно малом расстоянии они наблюдались бы как раздельные; в достаточно сильный окуляр мы рассмотрели бы две раздельные точки. Но в действительности благодаря дифракции изображения звезд - не точки, а кружки; а раз так, то при определенном минимальном расстоянии их изображения коснутся друг друга, и при дальнейшем уменьшении расстояния между компонентами опп, все более и более налагаясь друг на друга, сольются в одно слегка продолговатое пятнышко (рис. 9). Реально существующие две
Рис. 9. Изображения двух звезд сливаются, если угловые расстояния между ними меньше разрешающей силы телескопа.
отдельные звезды будут казаться одной, и ни в какой окуляр нельзя будет увидеть два изображения. Единственная возможность увидеть две столь близкие звезды раздельно - это использовать объектив с большим свободным отверстием, так как on изобразит их в виде кружков меньшего углового размера.
Подставим теперь в формулу, выражающую угловой радиус дифракционного диска, величину длины волны света, взяв зелепо-желтые лучи (к которым глаз наиболее чувствителен) со средней длиной волны X = l= 0,00055 мм:
JT (секунд дуги)
или, округляя,
Р = "77 (секунд дуги),
где D выражено в миллиметрах.
Такой же подстановкой получим значение для линейного радиуса дифракционного диска (для тех же лучей)
г = 1,22-0,00055-V = 0,00007 V мм = 0,07 V мкм.
Эти числа говорят сами за себя. Как бы ни была мала светящаяся точка, ее угловой радиус при рассматривании в объектив с диаметром свободного отверстия, равным 140 мм, не может быть меньше 1"; она будет представляться, следовательно, кружком диаметром в 2". Если мы вспомним, что истинный угловой диаметр звезд редко превышает тысячные доли секунды, то станет ясно, сколь еще далеко от истины представление о предмете, даваемое таким объективом, хотя телескоп с объективом диаметром в 140 лог уже принадлежит к числу довольно сильных инструментов. Здесь уместно указать, что угловой радиус дифракционного диска, даваемого
200-дюймовым рефлектором (D - 5000 лт), равен да
да 0",63 - как раз величина наибольшего известного истинного углового диаметра звезды.
Угловой диаметр дифракционного диска не зависит от фокусного расстояния, а линейвый его поперечник определяется относительным отверстием объектива. С тем же 140-лш объективом при относительном отверстии 1: 15 линейный диаметр дифракционного диска будет
2г = 2-0,00067-15 да 0j02 мм да 20 мкм.
Не входя в подробности теории, которые завели бы нас слишком далеко, скажем, что фактическая величина предельного угла разрешения несколько, меньше, чем угловой радиус дифракционного диска. Изучение этого вопроса приводит к выводу, что за меру разрешаемого
угла практически можно принять дробь -g- (при условии равенства блеска составляющих двойной звезды). Таким образом, объектив с диаметром свободного отверстия в 120 мм может на пределе разделить двойную звезду с расстоянием компонент равного блеска в 1". На поверхности Марса в эпохи великих противостояний
(угловой диаметр диска около 25") с помощью такого объектива можно еще различить два объекта, лежащие друг от друга на расстоянии "/25 видимого диаметра диска планеты, что соответствует примерно 270 км; на Луне могут быть раздельно видны объекты, находящиеся на расстоянии двух километров друг от друга.
Рассмотрим теперь связь между разрешающей силой и увеличением. Мы уже сказали, что как бы ни было сильно увеличение, оно не может открыть ничего дополнительного за пределами разрешающей силы; как нп старались бы мы увеличивать изображение - окуляром или удлинением фокусного расстояния,- мы не откроем новых подробностей, а лишь увеличим видимый размер дифракционных дисков. Никакое увеличение, как бы сильно оно ни было, не может разделить двойную звезду с расстоянием компонент 0",5, если диаметр объектива меньше 240 мм. Поэтому совершенно бессмысленны многочисленные попытки (изредка воскресающие еще и теперь) устройства «сверхтелескопов», основанных на применении очень сильных окулярных увеличений. Граница разрешающей силы определена самой природой света (длинами световых волн), и отодвинуть ее можно лишь увеличением свободного отверстия объектива, т. е. увеличением его поперечника.
Если сильное увеличение как средство повышения разрешающей силы дальше известного предела и бесполезно, то оно, как ясно каждому, не должно быть и слишком малым, иначе детали изображения будут казаться настолько мелкими, что глаз не сможет их различать и объектив не будет использован на свою полную мощность.
Человеческий глаз как оптическая система, разумеется также ограничен определенной разрешающей силой. Применяя к нему теорию телескопа и помня, что для глаза D - 6 мм (т. е. диаметр зрачка), мы получаем
значение разрешающего угла ^г - 20". На деле, однако,
глаз обладает меньшей разрешающей силой вследствие ряда причин (оптические недостатки хрусталика и внутренних сред глаза, строение сетчатки и др.). Как мы видели, можно считать, что нормальный человеческий глаз способен различать угловое расстояние в 2", т. е. с расстояния 25 см будет раздельно видеть две точки, отстоящие друг от друга на 0,15 мм.
Таким образом, изображение, созданное объективом, должно, быть увеличено с помощью окуляра но меньшей мере во столько раз, во сколько разрешающая сила объектива больше разрешающей силы глаза. Только тогда глаз увидит малейшие доступные объективу детали под углом, достаточным, чтобы можно было уверенно различать их. Если мы примем, что разрешаемый угол для глаза равен 120", то сказанное можно*было бы записать в виде простого равенства
щ> -
где тр - искомое необходимое увеличение, а гр - разрешаемый объективом угол.
Так как
120 ^ D [мм) "
то после подстановки будем иметь
Получается интереснейший вывод: увеличение, позволяющее различить глазом.все мельчайшие детали, доступные объективу телескопа, численно равно диаметру свободного отверстия объектива, выраженному в миллиметрах. Это увеличение называется разрешающим. Если мы вспомним, что наименьшее полезное увеличение" т равно отношению диаметров объектива и зрачка глаза
^in = и что б ="6 мм, то получим важное соотношение между тЛ1 и т:
т D С"
Следовательно, разрешающее увеличение равно ушестеренному наименьшему полезному увеличению. Иными словами, оно соответствует выходному зрачку, вшестеро меньшему, чем зрачок глаза, т. имеющему диаметр в 1 мм. Его можно выразить через фокусное расстояние окуляра и относительный фокус объектива (V). Зная,
что j- - D, a J. == N1D. получим 12
откуда /2 = V, т. е. выраженное в миллиметрах фокусное расстояние окуляра, дающего разрешающее увеличение, равно относительному фокусу объектива. Отсюда легко понять, что чем меньше относительный фокус объектива (т. е. чем больше его относительное отверстие), тем сильнее нужны окуляры, и обратно.
Приведенные численные отношения, выведенные на основании геометрической оптики, оказываются не вполне точными при проверке жизнью, т. е. практикой наблюдений в телескоп. На деле оказывается, что разрешающим оказывается увеличение в 1,4 раза большее, чем найденное из наших формул. Поэтому формуле нужно придать такой вид:
тр - 1,4D = 8,4m.
Фокусное расстояние окуляра, дающего разрешающее увеличение, найдется из соотношения
Следовательно, выходной зрачок телескопа, снабженного окуляром, дающим разрешающее увеличение, будет равен не 1 мм yj, а ~ = 0,7 мм.
Эти поправки, вносимые практикой, вовсе не означают, что геометрическая теория, на основании которой делаются расчеты, неверна. Дело в том, что она просто не принимает во внимание ряда обстоятельств, не относящихся к ее ведению и, прежде всего, вытекающих из особенностей глаза. Глаз - не только оптический инструмент, но и орган живого тела, обладающий многими свойствами, относящимися к ведению так называемой физиологии зрения.
Конечно, все наши расчеты верны лишь в том случае, если наблюдатель обладает нормальной остротой зрения, т. е. глазами с предельным углом разрешения, достигающим принятой нами величины 120". Многие думают, что близорукость вредит наблюдениям в телескоп. Это совершенно не верно, так как близорукость не имеет отношения к разрешающей силе глаза. Все отличие близорукого глаза от нормального в данном случае состоит в том, что он нуждается в несколько иной фокусировке, именно: близорукому человеку потребуется несколько придвинуть окуляр по направлению к главному фокусу объектива. В связи с этим близорукий наблюдатель оказывается
даже в более выгодном положении, так как видит изображение под несколько большим углом. Правда, это преимущество при пользовании сильным окуляром очень незначительно в сравнении с тем, что выигрывает близорукий глаз при простом рассматривании близких предметов.
Теперь рассмотрим влияние дифракции света на я р- кость изображения. Мы знаем, что в действительности изображением светящейся точки -является не геометрическая точка, а дифракционный диск, окруженный дифракционными кольцами. Свет, собранный объективом от светящейся точки, например от звезды, распределяется, следовательно, на некоторую площадь, а не концентрируется в одной точке. Из этого следует, во-нервых, что яркость изображения звезды в телескопе меньше той, которую можно было бы ожидать, так как часть ее света распределяется по дифракционным кольцам, и, во-вторых, что яркость изображения звезды уменьшается с применением все большего увеличения. Очевидно, это уменьшение яркости начинается с разрешающего увеличения, когда уже становятся различимыми дифракционные диски звезд. Поэтому не удивительно, что очень слабые звезды заметно тускнеют при самых сильных увеличениях.
Исследования показывают, что около 15% света звезды распределяется по дифракционным кольцам, а 85% приходится на центральный дифракционный кружок. Здесь в свою очередь свет распределяется не равномерно, а концентрируется к центру, что несколько компенсирует уменьшение яркости изображения ввезды при возрастании увеличения телескопа.
В этой главе мы вкратце рассмотрели принципы, лежащие в основе действия телескопа (рефрактора или рефлектора). Эти принципы непосредственно вытекают из основных законов образования изображений линзами или зеркалами. Начиная со следующей главы, мы обратимся к реальному телескопу с его достоинствами и недостатками, вытекающими из особенностей конструкции и технического выполнения. Мы будем учитывать влияние внешних условий, особенности наблюдаемого объекта и т. и. Но исходные понятия, которые мы рассмотрели в этой главе, будут непрерывно служить основой многих заключений, поэтому к ним придётся неоднократно возвращаться. Строитель телескопа и наблюдатель не должны забывать о них в своей повседневной работе.
Радиус k - ой. зоны Френеля:
для сферической волны
где а - расстояние диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника света;b - расстояние диафрагмы от экрана, на котором ведется наблюдение дифракционной картины;k - номер зоны Френеля; λ - длина волны;
для плоской волны
.
Дифракция света на одной щели при нормальном падении лучей. Условие минимумов интенсивности света
,k =1,2,3,…,
где а - ширина щели; φ- угол дифракции;k - номер минимума;
λ - длина волны.
Условие максимумов интенсивности света
, k =l, 2, 3,…,
где φ" - приближенное значение угла дифракции.
Дифракция света на дифракционной решетке при нормальном падении лучей. Условие главных максимумов интенсивности
d sinφ=±k λ, k =0,1,2,3,…,
где d - период (постоянная) решетки;k - номер главного максимума; φ -угол между нормалью к поверхности решетки и направлением дифрагированных волн.
Разрешающая сила дифракционной решетки
,
где Δλ- наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (λ и λ+Δλ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки;N - число штрихов решетки;k - порядковый номер дифракционного максимума.
Угловая дисперсия дифракционной решетки
,
линейная дисперсия дифракционной решетки
.
Для малых углов дифракции
,
где f - главное фокусное расстояние линзы, собирающей на экране дифрагирующие волны.
Разрешающая сила объектива телескопа
,
где β - наименьшее угловое расстояние между двумя светлыми точками, при котором изображения этих точек в фокальной плоскости объектива могут быть видны раздельно; D - диаметр объектива; λ - длина волны.
Формула Вульфа - Брэгга
2d sin =kλ ,
где d - расстояние между атомными плоскостями кристалла;- угол скольжения (угол между направлением пучка параллельных лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла), определяющий направление, в котором имеет место зеркальное отражение лучей (дифракционный максимум).
Примеры решения задач
Пример 1. На диафрагму с круглым отверстием радиусомr =1 мм падает нормально параллельный пучок света длиной волны λ=0,05 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояниеb max от центра отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно.
Решение. Расстояние, при котором будет видно темное пятно, определяется числом зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Если число зон четное, то в центре дифракционной картины будет темное пятно.Число зон Френеля, помещающихся в отверстии, убывает по мере удаления экрана от отверстия. Наименьшее четное число зон равно двум. Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно в центре экрана, определяется условием, согласно которому в отверстии должны поместиться две зоны Френеля.
Из рис. 31.1 следует, что расстояние от точки наблюдения Oна экране до края отверстия на 2(λ/2) больше, чем расстояниеb max .
По теореме Пифагора получим
Учтя, что λ<<b m ах и что членом, содержащим λ 2 , можно пренебречь, последнее равенство перепишем в виде
r 2 =2λb max . откудаb max =r 2 /(2λ). Произведя вычисления по последней формуле, найдем
Пример 2. На щель ширинойа =0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (λ==0,6 мкм). Определить ширинуl центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от линзы на расстоянииL =lм.
Решение. Центральный максимум интенсивности света занимает область между ближайшими от него справа и слева минимумами интенсивности. Поэтому ширину центрального максимума интенсивности примем равной расстоянию между этими двумя минимумами интенсивности (рис. 31.2).
Минимумы интенсивности света при дифракции от одной щели наблюдаются под углами φ, определяемыми условием
a sin φ=±k λ, (1)
где k - порядок минимума; в нашем случае равен единице.
Расстояние между двумя минимумами на экране определим непосредственно по чертежу: l =2 L tgφ. Заметив, что при малых углахtgφsinφ, перепишем эту формулу в виде
/=2L sin φ. (2)
Выразим sinφ из формулы (1) и подставим его в равенство (2):
l=2Lkλ/a. (3)
Произведя вычисления по формуле (3), получим l =1,2 см.
Пример 3. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает параллельный пучок света с длиной волны λ=0,5мкм. Помещенная вблизи решетки линза проецирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы наL =lм. Расстояниеl между двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см (рис. 31.3). Определить: 1) постояннуюd дифракционной решетки; 2) числоn штрихов на 1 см; 3) число максимумов, которое при этом дает дифракционная решетка; 4) максимальный угол φ m ах отклонения лучей, соответствующих последнему дифракционному максимуму.
Решение 1. Постоянная d дифракционной решетки, длина волныλ и угол φ отклонения лучей, соответствующийk-му дифракционному максимуму, связаны соотношением
dsin φ=k λ, (1)
где k - порядок спектра, или в случае монохроматического света порядок максимума.
В данном случае k =1, sinφ=tgφ (ввиду того, чтоl /2<<L ),tgφ=(l /2)L (следует из рис. 31.3). С учетом последних трех равенств соотношение (1) примет вид
,
откуда постоянная решетки
d =2L λ/l .
Подставляя данные, получим
d =4,95 мкм.
2. Число штрихов на 1 см найдем из формулы
п =1/d .
После подстановки числовых значений получим n =2,02-10 3 см -1 .
3. Для определения числа максимумов, даваемых дифракционной решеткой, вычислим сначала максимальное значение k max исходя из того, что максимальный угол отклонения лучей решеткой не может превышать 90°.
Из формулы (1) запишем
. (2)
Подставляя сюда значения величин, получим
K max =9,9.
Число k обязательно должно быть целым. В то же время оно не может принять значение, равное 10, так как при этом значенииsinφ должен быть больше единицы, что невозможно. Следовательно,k m ах =9.
Определим общее число максимумов дифракционной картины, полученной посредством дифракционной решетки. Влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному k m ах , т. е. всего 2k m ах . Если учесть также центральный нулевой максимум, получим общее число максимумов
N =2k max +l.
Подставляя значение k m ах найдем
N =2*9+1=19.
4. Для определения максимального угла отклонения лучей, соответствующего последнему дифракционному максимуму, выразим из соотношения (2) синус этого угла:
sinφ max =k max λ/d .
φ max =arcsin(k max λ/d ).
Подставив сюда значения величин λ, d , k m ах и произведя вычисления, получим
φ m ах =65,4°.
Задачи
Зоны Френеля
31.1.
Зная формулу радиусаk
-
й.
зоны Френеля для сферической волны
(ρ k =
),
вывести соответствующую формулу для
плоской волны.
31.2. Вычислить радиус ρ 5 пятой зоны Френеля для плоского волнового фронта (λ=0,5 мкм), если построение делается для точки наблюдения, находящейся на расстоянииb =1 м от фронта волны.
31.3. Радиус ρ 4 четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 3 мм. Определить радиусρ 6 шестой зоны Френеля.
31.4. На диафрагму с круглым отверстием диаметромd =4 мм падает нормально параллельный пучок лучей монохроматического света (λ=0,5 мкм). Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянииb =1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии? Темное или светлое пятно получится в центре дифракционной картины, если в месте наблюдений поместить экран?
31.5. Плоская световая волна (λ=0,5 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием диаметромd =lсм. На каком расстоянииb от отверстия должна находиться точка наблюдения, чтобы отверстие открывало: 1) одну зону Френеля? 2) две зоны Френеля?
31.6. Плоская световая волна падает нормально на диафрагму с круглым отверстием. В результате дифракции в некоторых точках оси отверстия, находящихся на расстоянияхb i , от его центра, наблюдаются максимумы интенсивности. 1. Получить вид функцииb =f (r , λ, п), гдеr - радиус отверстия; λ - длина волны;п - число зон Френеля, открываемых для данной точки оси отверстием. 2. Сделать то же самое для точек оси отверстия, в которых наблюдаются минимумы интенсивности.
31.7. Плоская световая волна (λ=0,7 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием радиусомr =1,4 мм. Определить расстоянияb 1 ,b 2 ,b 3 от диафрагмы до трех наиболее удаленных от нее точек, в которых наблюдаются минимумы интенсивности.
31.8. Точечный источникS света (λ=0,5 мкм), плоская диафрагма с круглым отверстием радиусомr =1 мм и экран расположены, как это указано на рис. 31.4 (а =1 м). Определить расстояниеb от экрана до диафрагмы, при котором отверстие открывало бы для точкиР три зоны Френеля.
31.9. Как изменится интенсивность в точкеР (см. задачу 31.8), если убрать диафрагму?
Если отрезок длиной D перпендикулярен линии наблюдения (более того, она является серединным его перпендикуляром) и находится на расстоянии L от наблюдателя, то точная формула для углового размера этого отрезка: . Если размер тела D мал по сравнению с расстоянием от наблюдателя L, то угловой размер (в радианах) определяется отношением D/L, так как для малых углов. При удалении тела от наблюдателя (увеличении L), угловой размер тела уменьшается.
Понятие углового размера очень важно в геометрической оптике , и в особенности применительно к органу зрения - глазу . Глаз способен регистрировать именно угловой размер объекта. Его реальный, линейный размер определяется мозгом по оценке расстояния до объекта и из сравнения с другими, уже известными телами.
В астрономии
Угловой размер астрономического объекта, видимый с Земли , обычно называется угловым диаметром или видимым диаметром . Вследствие удалённости всех объектов, угловые диаметры планет и звёзд очень малы и измеряются в угловых минутах (′) и секундах(″) . Например, средний видимый диаметр Луны равен 31′05″ (вследствие эллиптичности лунной орбиты угловой размер изменяется от 29′24″ до 33′40″). Средний видимый диаметр Солнца - 31′59″ (изменяется от 31′27″ до 32′31″). Видимые диаметры звёзд чрезвычайно малы и лишь у немногих светил достигают нескольких сотых долей секунды.
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Угловой диаметр" в других словарях:
УГЛОВОЙ ДИАМЕТР, в астрономии видимый диаметр небесного тела, выраженный в угловых мерах (обычно в дуговых градусах и минутах). Это угол, вершиной которого является глаз наблюдателя, а основанием видимый диаметр наблюдаемого тела. Если известно… … Научно-технический энциклопедический словарь
угловой диаметр - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN angular diameter …
Видимый диаметр объекта, измеряемый в угловых единицах, т.е. в радианах, градусах, дуговых минутах или секундах. Угловой диаметр зависит как от истинного диаметра, так и от расстояния до объекта … Астрономический словарь
угловой диаметр - kampinis skersmuo statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. angular diameter; apparent diameter vok. scheinbare Durchmesser, m; Winkeldurchmesser, m rus. видимый диаметр, m; угловой диаметр, m pranc. diamètre angulaire, m; diamètre apparent, m … Fizikos terminų žodynas
угловой диаметр приемника - (η2) Угол, под которым наблюдается наибольший размер видимой площади приемника из исходного центра (β1 = β2 = 0°). [ГОСТ Р 41.104 2002] Тематики автотранспортная техника … Справочник технического переводчика
угловой диаметр светоотражающего образца - (η1) Угол, под которым наблюдается наибольший размер видимой площади светоотражающего образца либо из центра источника света, либо из центра приемника (β1 = β2 = 0°). [ГОСТ Р 41.104 2002] Тематики автотранспортная техника … Справочник технического переводчика
угловой диаметр приемника (η 2) - 2.4.3 угловой диаметр приемника (η2): Угол, под которым наблюдается наибольший размер видимой площади приемника из исходного центра (b1 = b2 = 0°). Источник …
угловой диаметр светоотражающего образца (η 1) - 2.4.2 угловой диаметр светоотражающего образца (η1): Угол, под которым наблюдается наибольший размер видимой площади светоотражающего образца либо из центра источника света, либо из центра приемника (b1 = b2 = 0°). Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
В изначальном значении это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр равен двум радиусам. Содержание 1 Диаметр геометрических фигур … Википедия
Поперечник видимого диска этих светил, выраженный в угловой мере. Зная видимый диаметр и расстояние от Земли, легко вычислить истинные размеры светил. Угловой диаметр изменяется в зависимости от расстояния, и так как все движения светил относятся … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Изображение, возникающее в действительности при преломлении и отражении света, заметно отличается от геометрического изображения, существующего лишь в нашем представлении.
Рассматривая в сильный окуляр изображение звезды, образованное объективом, мы замечаем, что оно не является точкой, как того требует только что разобранная геометрическая схема, а выглядит кружком, окруженным несколькими концентрическими кольцами, яркость которых быстро убывает к периферии.(рис, 2.20).
Рис. 2.20. Вид изображений светящихся точек различной яркости при их рассматривании в фокусе объектива с помощью сильного окуляра.
Но этот светлый кружок - не истинный диск звезды, а видимый результат явления дифракции света.
Светлый центральный кружок называется дифракционным диском, а окружающие его кольца носят название дифракционных колец . Как показывает теория, видимый угловой поперечник дифракционного диска зависит от длины волны света (т. е. от цвета падающих лучей) и от диаметра объектива. Эта зависимость выражается следующей формулой:
где ρ - угловой радиус дифракционного диска (при наблюдении его из центра объектива), D - диаметр свободного отверстия объектива (в сантиметрах) и λ - длина волны света (в сантиметрах). Это выражение дает угловой радиус диска в радианах; для перевода в градусные меры (секунды дуги) его нужно умножить на значение радиана в секундах. Следовательно,
D 206 265 секунд дуги.
Под таким углом радиус дифракционного диска виден из центра объектива; под таким же углом он проектируется из центра объектива на небесную сферу. Угловой поперечник его будет, разумеется, вдвое больше. Это равносильно тому, как если бы истинный диск наблюдаемой звезды имел та-кой угловой поперечник.
Линейный радиус дифракционного диска находится по формуле
r = ρ f, откуда r =l,22λƒ/ D.
Таким образом, угловые размеры дифракционной картины изображения определяются диаметром объектива и длиной волны света (цветом лучей) и от f не зависят, а линейныеразмеры зависят от относительного фокуса и длины волны света, но не зависят от D . Подобным же образом от тех же величин зависят и размеры дифракционных колец, окружающих центральный диск. Из того, что размер колец зависит от длины световой волны, ясно, что в случае белого света они должны быть окрашены в радужные цвета; в действительности можно заметить, что внутренние края колец. имеют синюю окраску, а наружные - красную (так как длина волны синих лучей меньше длины волны красных).
Из этих немногих сведений можно сделать выводы,; имеющие большое значение для работы с телескопом: 1) чем больше диаметр объектива, тем мельче подробности, различаемые с его помощью; 2) для каждого объектива существует наименьшее угловое расстояние между двумя светящимися точками (например, звездами), которые еще возможно различить раздельно с помощью данного объектива; это наименьшее угловое расстояние называется предельным углом разрешени я или; разрешаемым углом и является фундаментальной характеристикой объектива, по которой оценивается его разрешающая сила . Чем меньше предельный угол разрешения, тем выше разрешающая сила объектива.
Реальное значение разрешающей силы станет нам вполне ясным, если мы будем наблюдать двойные звезды с малыми угловыми расстояниями между компонентами. Если бы изображения звезд в фокусе объектива были точками, то при сколь угодно малом расстоянии они наблюдались бы как раздельные; в достаточно сильный окуляр мы рассмотрели бы две раздельные точки. Но в действительности благодаря дифракции;
изображения звезд - не точки, а кружки; а раз так, то при определенном минимальном расстоянии их изображения коснутся друг друга, и при дальнейшем уменьшении расстояния между компонентами они, все более и более налагаясь друг на друга, сольются в одно слегка продолговатое пятнышко (рис.2.21.). Реально
Рис. 2.21. Изображения двух Звезд сливаются, если угловое расстояние между ними меньше разрешающей силы телескопа.
существующие две отдельные звезды будут казаться одной, и ни в какой окуляр нельзя будет увидеть два изображения. Единственная возможность увидеть две столь близкие звезды раздельно -это использовать объектив с большим свободным отверстием, так как он изобразит их в виде кружков меньшего углового размера.
Подставим теперь в формулу, выражающую угловой радиус дифракционного диска, величину длины волны света, взяв зелено-желтые лучи (к которым глаз наиболее чувствителен) со средней длиной волны λ = 0,00055 мм
ρ = 1.22 λ/D 206265 = 1.22 0.00055/ D 206265= 138/ D (секунд дуги)
пли, округляя,
D (секунд дуги),
Где D выражено в миллиметрах.
Такой же подстановкой получим значение для линейного радиуса дифракционного диска (для тех же лучей)
r = 1,22 0,00055 ƒ/ D = 0,00067 ƒ/ D мм = 0,67 ƒ/ D мкм.
Эти числа говорят сами за себя. Как бы ни была мала светящаяся точка, ее угловой радиус при рассматривании в объектив с диаметром свободного отверстия, равным 140 мм. не может быть меньше 1"; она будет представляться, следовательно, кружком диаметром в 2".Если мы вспомним, что истинный угловой диаметр звезд редко превышает тысячные доли секунды, то станет ясно, сколь еще далеко от истины представление о предмете, даваемое таким объективом, хотя телескоп с объективом диаметром в 140 мм уже принадлежит к числу довольно сильных инструментов. Здесь уместно указать, что угловой радиус дифракционного диска, даваемого 200-дюймовым рефлектором (D == 5000мм), равен 140/5000 ~ 0",03-как раз величина наибольшего известного истинного углового диаметра звезды.
Угловой диаметр дифракционного диска не зависит от фокусного расстояния, а линейный его поперечник определяется относительным отверстием объектива. С тем же 140-мм объективом при относительном отверстии 1:15 линейный диаметр дифракционного диска будет
2r= 2 0,00067 15 ~ 0,02 мм~ 20 мкм.
Не входя в подробности теории, которые завели бы нас слишком далеко, скажем, что фактическая величина предельного угла разрешения несколько меньше, чем угловой радиус дифракционного диска. Изучение этого вопроса приводит к выводу, что за меру разрешаемого угла практически можно принять дробь 120/D (при условии равенства блеска составляющих двойной звезды). Таким образом, объектив с диаметром свободного отверстия в 120 мм может на пределе разделить двойную звезду с расстоянием компонент равного блеска.На поверхности Марса вэпохи великих противостояний (угловой диаметр диска около 25") с помощью такого объектива можно еще различить два объекта, лежащие друг от друга на расстоянии 1/25 видимого диаметра диска планеты, что соответствует примерно 270 км; на Луне могут быть раздельно видны объекты, находящиеся на расстоянии двух километров друг от друга.
Под разрешающей способностью телескопа принято понимать разрешающуюспособность его объектива. Телескопы предназначены для наблюдения удаленных объектов (звезд). Пусть с помощью телескопа, объектив которого имеет диаметр D, рассматриваются две близкие звезды, находящиеся на угловом расстоянии θ .Изображение каждой звезды в фокальной плоскости объектива имеет линейный размер (радиус пятна Эйри), равный 1.22 λF/D. При этом центры изображений находятся на расстоянии y*F. Как и в случае спектральных приборов, при определении дифракционного предела разрешения используется условный критерий Рэлея (рис. 2.22). Разница состоит в том, что в случае спектральных приборов речь идет о разрешении двух близких спектральных линий по их изображениям, а в случае оптических инструментов – о разрешении двух близких точек объекта.
Впервые предел разрешения объектива микроскопа был определен в 1874 г. немецким физиком Г. Гельмгольцем, формула (2.9) называктся формулой Гельмгольца
Здесь λ – длина волны, n – показатель преломления иммерсионной жидкости, α – так называемый апертурный угол (рис.2.20). Величина n sinα называется числовой апертурой .
Рис. 2.24. |
Иммерсионная жидкость перед объективом микроскопа
У хороших микроскопов апертурный угол α близок к своему пределу: α ≈π/2. Как видно из формулы Гельмгольца, применение иммерсии несколько улучшает предел разрешения. Полагая для оценок sinα≈1, n ≈1,5, получим:
l min ≈0,4λ.
Таким образом, с помощью микроскопа принципиально невозможно рассмотреть какие-либо детали, размер которых значительно меньше длины волны света. Волновые свойства света определяют предел качества изображения объекта, полученного с помощью любой оптической системы.
2.4.4. Замечание о нормальном увеличенииоптических инструментов. Как в телескопе, так и в микроскопе изображение, полученное с помощью объектива, рассматривается глазом через окуляр. Для того, чтобы реализовать полностью разрешающую способность объектива система окуляр–глаз не должна вносить дополнительных дифракционных искажений. Это достигается целесообразным выбором увеличения оптического инструмента (телескопа или микроскопа). При заданном объективе задача сводится к подбору окуляра. На основании общих соображений волновой теории можно сформулировать следующее условие, при котором будет полностью реализована разрешающая способность объектива: диаметр пучка лучей,выходящих из окуляра не должен превышать диаметра зрачка глаза d 3p .Таким образом, окуляр оптического инструмента должен быть достаточнокороткофокусным. . Рис. 2.24 Телескопический ход лучей Поясним это утверждение на примере телескопа. На рис. 2.24 изображентелескопический ход лучей.1. Определить кратность увеличения лупы с фокусом 50мм.
2. Определить фокусное расстояние объектива с увеличением 30 х.
3. Определить суммарную оптическую силу двух объективов с кратностью увеличения 5 х и 15 х.
4. Составить оптическую схему микроскопа с увеличением 1500 х с использованием микрообъективов из ряда фокусных расстояний ƒ= 5;10;20;25;30;35мм и окуляров с кратностью увеличения Г =15;20;25;30;40. Определить при этом длину тубуса.
6. Определить линейный размер аберрационного пятна для телескопа с апертурой 300мм. и фокусным расстоянием 2.4м.от звезды.
8. Как выглядят звёзды при наблюдении в телескоп? Меняется ли их вид в зависимости от увеличения?
9. Каков наибольший диаметр объектива у современных рефракторов?
10. Что оказывает наибольшие помехи при наблюдениях звёзд в земных условиях?
11. Каков наибольший диаметр объектива у современных рефлекторов?
12. Что является объективом у телескопа рефлектора? Кто первый построил телескоп рефрактор?
13. Нарисуйте схему менискового телескопа.
14. Чем определяется светосила телескопа?
15. Назовите три самых ярких объекта земного неба.
16. Зачем нужен мениск у менискового телескопа?
17. Нарисуйте схему рефлектора.
18. Чем определяется увеличение телескопа?
19. Каково назначение окуляра?
20. Нарисуйте схему рефрактора.
21. Для чего используют телескопы при наблюдении Луны и планет?
22. Кто первый построил телескоп рефлектор?
23. Для чего используют телескопы при наблюдении звёзд?
24. Какими характеристиками визуально отличаются звёзды друг от друга?
25. Какими характеристиками визуально отличаются звёзды от планет?
26. Приведите названия трёх любых звёзд.
27. Приведите названия трёх любых созвездий.
28. Какой кривизны зеркало устанавливают на рефлекторах?
29. Кто первый построил менисковый телескоп?
30. Какие ещё телескопы, кроме оптических, вы знаете?
31. Почему при наблюдении Луны и планет в телескоп используют увеличение не более 500-600 раз? Каково назначение объектива
32. Какие параметры объектива определяют разрешающую способность.
33. Какой параметр объектива определяет линейный поперечник дифракционного диска.
34. Предел разрешения микроскопа.
35. Какова ширина пучка при засветке газовым лазером с расходимостью 1` (одна угл. мин.) на расстоянии 10 км.
36. В чем заключается принцип Гюйгенса-Френеля и явления дифракции электромагнитных волн
37. В чем состоит метод зон Френеля? Как разбить волновой фронт на зоны Френеля?
38. Что происходит с освещенностью центральной точки экрана при приближении или удалении от него непрозрачной плоскости с отверстием?
39. Зная диаметр отверстия,длину волны света и расстояние от точечного источника света S до экрана, определить,на какое минимальное целое число зон Френеля может быть разбито отверстие в опыте Френеля?
40. Как определить размер дифракционного изображения круглого отверстия в сходящейся волне? Как зависит этот размер от величины отверстия? От расстояния до экрана?